En tankenöt från Lennart Bengtsson

gåta

Kanske något för bloggens alla smarta läsare
Hälsar
Lennart B
För de grå cellerna med viss klimatpolitisk anknytning
 
Här kommer en liten räkneuppgift om de 5 politikerna (som vi kallar S, M, C, L och V) , ett antal valröster om bevarandet av klimatet på Öland samt deras medföljande  lilla vovve som hette Moppe.
Politikerna hade samlat ihop ett antal röster från klimatvalet på Öland som de avsåg att dela upp mellan sig den följande morgonen.
På natten vaknar  S, delar i hemlighet upp rösterna i fem lika delar så när som på en röst som han ger Moppe, gömmer undan sin  femtedel av rösterna, lämnar resten  och går och lägger sig.


Efter en stund gör M samma sak delar upp återstoden som går jämt ut så när som på en röst som han ger till Moppe .  Han gömmer därefter undan sin femtedel, lämnar resten och går och lägger sig.

Sedan gör C, L och V samma sak i tur och ordning. Delar upp vad som finns kvar i fem  lika delar så när som på en röst som de ger till Moppe och gömmer undan en femtedel och lämnar återstoden.

Morgonen därpå delar de upp vad som finns kvar i fem lika delar så när som på en röst som de ger till Moppe.

Frågan är vad är det minsta antalet röster som uppfyller villkoren ovan?

Dela detta inlägg

40 reaktion på “En tankenöt från Lennart Bengtsson

  1. 1
    Jan-Åke

    Hm ..med risk att göra bort mig …får det lite snabbt i huvet att det krävs 16 röster från början minst.

  2. 4
    Gustav

    Haha, nej fel det också. Får tänka ett varv till. Kul med lite hjärngympa.

  3. 5
    Guy

    Publicerades under namnet coconuts i början på 1900 – talet. Fanns med i Pseudonymen Lewis Carrolls anteckningar från slutet av 1800 -talet. Finns många sätt att lösa problemet. Minimitalet torde vara 5 upphöjt i 6.
    Hittar inte dom olika lösningsmodellerna, men läste nyligen om problemet. Såhär om inte minnet sviker.

  4. 7
    Lasse

    Jag gissar att moppe är den enda som får röster och han får 6 röster.

  5. 8
    KM

    Från början: 15621

    Efter S: (15621-1)*4/5 = 12496
    Efter M: (12496-1)*4/5 = 9996
    Efter C: (9996-1)*4/5 = 7996
    Efter L: (7996-1)*4/5 = 6396
    Efter V: (6396-1)*4/5 = 5116
    Kvar: (5116-1)/5 = 1023

    Kan det stämma?

  6. 9
    Niklas L

    Det minsta antalet röster som uppfyller slutvärde 6 röster? Eller åtminstone 5n +1, n heltal… Nu skriver jag först och tänker sedan…

  7. 10
    Ingemar Nordin Inläggsförfattare

    Lasse #7,

    Äsch, du har sabbat nöten alldeles för tidigt! :-)

  8. 11
    Niklas L

    111 röster, eller om de något snopna bara har att ge Moppe en röst på morgonen, 81… Fast det är säkert något annat ”lurt” med det här…

  9. 12
    Dolf (a.k.a. Anders Ericsson)

    #10 Ingemar Nordin
    När du säger att #7 Lasse sabbat nöten så antar jag att du menar att han har gett rätt svar. Men hur kan Moppe få 6 röster och vara den enda som får röster?
    Det innebär ju att det måste ha funnits minimum 6 röster från början, varvid då S har givit 1 röst till Moppe och gömt undan en röst för sig själv, så det spricker ju redan där för det innebär ju att S har en röst.

  10. 14
    Sten Kaijser

    Hej KM,

    jag tror att du har den rätta lösningen. Ett intressant faktum är att de röster de får när de delar på slutet är exakt 4 upphöjt till 5 minus 1 så att på morgonen så är det 10 gånger 512 ta bort 4, dessförinnan (åt V) 100 gånger 64 ta bort 4, sedan (åt C) 1000 gånger 8, ta bort 4, åt L, 10 000 gånger 1, ta bort 4, så åt M delar vi med 8 en gång till och multiplicerar med 10 vilket ger 1250 gånger 10 ta bort 4. och slutligen när vi började 5 upphöjt till 6 ta bort 4. Nu vänder vi på det och börjar med att lägga till 4 röster. Om vistartar med din lösning har vi då åt S 15625, åt M 12500, åt L 10 000 åt C 8000 åt V 6400 och på morgonen 5120, vilket är 5 gånger 1024 vilket är vad som behövs eftersom vi multiplicerat med 4 5 gånnger.

    Bravo!

  11. 16
    KM

    Tackar! :)

    Efter lite labbande i Excel är jag övertygad att 15621 är den minsta lösningen. Men hur bevisar man detta formellt? Primtalsfaktorisering?

  12. 17
    Dennis Lundqvist

    Jag är på samma linje som #7 – Lasse 2017/03/20 kl. 16:44, enligt principen ”Let’s cut through the bullshit”.

  13. 18
    Slabadang

    KM!

    Helt rätt svar men ….. vad är sense moral ? De e nåe lurt?

  14. 19
    Lasse

    #8 KM
    Gissar att du har rätt!
    5^6-4
    -det måste finnas en formel bakom.

    Min enkla lösning håller inte ens första delningen!

  15. 21
    Karl Eider

    Man kan generalisera problemet för x antal personer. Man får då formeln:

    S = (x / (x-1))^(x+1) * E + sum((x/(x-1)^x + … + 1).

    Där S är startvärde och E är slutvärde (märk att detta inte är det man delar ut till alla sista gången utan E ska divideras med (x-1) för att få detta värde. Detta för att få serien hel t symetrisk.
    Har inget färdigt bevis, men E kommer alltid att bli (x-1)^(x+1) – x + 1.

    I vårt fall blir E = 4^6 – 4 = 4092. Dividera detta med 4 och vi får 1023. Stoppa in i formeln ovan och vi får startvärdet S = 15621.

    Nu kan man prova problemet med valfritt antal personer. T ex med 3, då får man startvärdet 25.

  16. 22
    Karl Eider

    Sorry, slarvfel. startvärdet för tre personer ska vara 79 och inget annat.

  17. 23
    Argus

    De e mer fusk med i bilden. Kan aldrig tro att det finns så många röstberättigade på Öland.

  18. 24
    Argus

    Alltså, där finns kungen med delar av familjen -och var valet på sommaren? annars är de inte där – två deckarförfattare, en mordbrännare, några som inte drabbats plus ett gäng fågelskådare. Det kan aldrig bli tusentals!

  19. 25
    Håkan Bergman

    Precis Argus, vi vet ju också att politiker inte kan räkna och inte är att lita på i största allmänhet. 15621 skulle, baserat på antal röstberättigade i kommunalvalet 2014, innebära ett valdeltagande på 77% och så klimatintresserade är nog inte ölänningarna.

  20. 26
    Karl Eider

    Roade mig med att testa problemet på 6 personer istället. Då får man startvärdet 279931 och det var och en får i sista utdelningen är 15624. :)

  21. 27
    Dolf (a.k.a. Anders Ericsson)

    #21 Karl Eider
    Gee, vilken stökig formel. Ok, om den behövs för beviset. Men det är väl inte märkvärdigare än att
    S=x^(x+1)-(x-1)

    Ditt E får jag inte att funka. Det skulle i fallet med 3 personer bli 2^4-3+1=14, som då, om jag förstod dig rätt skall delas med 2, vilket innebär att utdelningen i slutet blir 7 per person.

    Men när jag handräknar får jag det till att alla (utom hunden som bara får 1) skall få 11 var i slutronden

  22. 28
    Karl Eider

    #27

    Lite svårt att utryck matematiska formler här i bloggen, och formeln blev kanske lite otydlig, men det är summaserien som måste tas med också. För fallet med tre personer:

    E = 2^4 – 3 + 1 = 14
    S = (3/2)^4 * E + (3/2)^3 + (3/2)^2 + 3/2 + 1 = (81 * 14 + 54 + 36 + 24 +16) / 16 = 79

  23. 29
    Guy

    Hittade tillbaka till texten. KM har rätt plus att han har en mycket elegant lösning.

  24. 30
    Dolf (a.k.a. Anders Ericsson)

    Fast jag tar tillbaka det jag sa på slutet av 27, jag fick 11 för att jag gjorde ett steg för litet. Det blir 7 när man gör alla stegen.

    Totala antalet röster från start =x^(x+1)-(x-1)

    Och

    antal röster var och en får i slutronden = ((x-1)^x)-1

    verkar stämma

    Det ger för 5 personer, 15621 i potten från början, och var en får i slutronden 1023.
    För 3 personer 79 i potten, och 7 i slutronden.
    För skojs skull, 4 personer 1021 resp 80
    8 personer 124217721 resp 5764800 (misstänker att det är när FN fuskar i klimatomröstningarna)

  25. 31
    Karl Eider

    #30 Dolf
    Din formel är ju en klar förenkling. Min som innehåller en summa, kan med säkert förenklas och då sluta som samma formel som din. Det borde också gå att bevisa att denna formel representerar den första lösningen (lägsta värdet) av alla befintliga.

  26. 32
    Håkan Bergman

    Om man går bakvägen blir det annorlunda. Vi börjar med att vi har X-1 röster att dela på slutet, för varje steg tillbaka återstår X*1.25ⁿ, n går från 1 till 4. Den största termen bli X*1.25⁴ och det måste vara ett heltal och X*1.25ⁿ -1 måste vara jämt delbart med 5. Det minsta värde på X som uppfyller detta är 4096.
    Så på slutet har vi 4096 röster, vi ger en till Moppe och delar 4095 med 5 vilket ger 819 röster till vart och ett av de andra partierna. Sen multiplicerar vi 4096 med 1.25, det ger 5120 röster, jämt delbart med 5. Men Moppe då? Lugn, vi går baklänges och tog såklart tillbaka en röst från honom, som V kan ge honom. Och så går vi vidare 6400, 8000, 10000 och på slutet 12500 + 1 röst från Moppe.

  27. 33
    Dolf (a.k.a. Anders Ericsson)

    #32 Håkan Bergman
    Din lösning funkar inte. 12501, ge en till Moppe, 12500 kvar, dela med 5, ger 2500, stoppa undan 2500, kvar är 10000, ge en till moppe, 9999 kvar, det går inte jämnt upp i 5, så där sprack den.
    Notera att de alltid ”delar upp rösterna i 5 lika delar, så när som på en röst som ges till Moppe”. Det vill säga, antalet röster är alltid 5n+1 i början av varje steg. (Och ni=5ni+1+1, så i princip ett rekursivt problem, eller iterativt, beroende på hur man tar sig an det.)

  28. 35
    Lennart Bengtsson

    Här kommer en generell lösning med N stycken opålitliga politiker

    Summan = -(N-1) + N**(N+1).

    1 Lös först det enklare problemet där Moppe inte får någon röst eftersom delningen går jämt ut. Detta inses lätt. Resultatet blir då N**(N+1)

    2. Sedan kan man föreställa sig en annan enkel lösning där det finns –(N-1) röster att starta med (dvs en gemensam skuld av röster ungefär som ett slags allmänt röstfusk). Ger man Moppe 1 röst vid varje delning så ökar givetvis skulden. Efter N+1 omgångar har därför Moppe +(N+1) röster och politikernas skuld ökat till -2 vardera eller 2N sammanlagt.

    3. För en slutlig lösning adderar man 1 och 2

    För N = 5 fås 15621 som är det minsta talet vilket många klarade lätt.

    Hälsar

    Lennart

  29. 36
    Lasse

    Om man antar att antalet röster var mindre än 5, 4 eller färre, så blir det Moppe som vinner allt!

  30. 38
    Per

    Kan beskrivas i talbaser.
    4 skumma politiker 33331 basen 4 = 1021
    5 skumma politiker 444441 basen 5 = 15621
    6 skumma politiker 5555551 basen 6 =279931
    Osv.

    Förklara det ni.

  31. 39
    Lennart Bengtsson

    *38

    Framgår direkt av den allmänna formeln i 35
    för N=10

    så får man 99 999 999 991
    eller för den delen i det hexa-decimala systemet med 16 som bas dvs 1,2,3,4..9,A,B,C,D,E,F
    F**(F+1)-E eller EEE….E1 osv. då talet EEE…E1+E = FFFFFFF.. dvs F+1 st F

  32. 40
    Lennart Bengtsson

    *38

    Beklagar slarvet. så här skall det förstås vara:

    Framgår direkt av den allmänna formeln i 35
    för N=10

    så får man 99 999 999 991
    eller för den delen i det hexa-decimala systemet med 16 som bas dvs 1,2,3,4..9,A,B,C,D,E,F
    (F+1)**(F+2)- F = FFFFF…F1

Kommentarer inaktiverade.